【澳门金沙app】同调论

10/12/2022
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[拼音]:tongdiaolun

[外文]:homology theory

代数拓扑学中的一个主要组成部分,研究与同调概念有关的课题。

在图5

的曲面S上,α、с、d都不同调于零,b)~0,α不同调于с、d中的任何一个,但с~d。

将图6

在p中为同一定向圆圈z。可以看出,在p中有z+z=2z~0,但z不同调于零。

H.庞加莱从1895年起,为了对同调概念做一般的讨论,引进了可剖分为复形的空间,从此产生了组合拓扑学。

n维单形

0维单形是一个点,一维单形是一条线段,二维单形是一个三角形,三维单形是一个四面体,n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。

定向单形

除0维单形不给定向外,其他维的单形可以有两个定向。例如,一维单形的定向可以用从起点到终点的箭头给出,二维单形的定向可以用一个旋转方向给出(图7

单纯复形

是由有限个单形很好地拼凑起来而组成的。例如,图8

单纯复形的n维链

形如

的线性组合叫一个n维链,其中{

边缘运算元

,规定它的边缘

(即先取它的每一个定向单形的边缘再乘上它的原来系数然后求和)。不难看出,一个n维链的边缘是一个n-1维链。由此得到从n维链群到n-1维链群的同态,这个同态叫做(下)边缘运算元,记作嬠:Cn(K)→Cn-1(K)。边缘运算元具有嬠嬠=0的性质。

n维闭链

n维边缘链

n维同调群

多面体

单纯复形 K的全体单形的并集叫做一个多面体,记作│K│。对于多面体的同调群Hn(|K|;G)可以用Hn(K;G)来定义,即令Hn(|K|;G)=Hn(K;G)。

单纯对映

连续对映汇出的同态

给了两个多面体|K|、|L|之间的一个连续对映F:│K│→│L│,可以将K适当重分成另一复形K┡,并用一个单纯对映去逼近F。利用这个单纯对映汇出的同调群之间的同态得到Hn(│K┡│;G)到Hn(│L│;G)的同态,并且可以证明,Hn(│K┡│;G)与Hn(|K|;G)自然地同构。 于是记此同态为Fn:Hn(|K|;G)→Hn(│L│;G)。

上同调群

。上同调群的构造可以由同调群完全确定。当多面体│K│为定向流形时,同调群和上同调群之间还有对偶关系(流形的庞加莱对偶定理),即Hn(|K|;G)同构于Hq-n(│K│;G),其中q为流形│K│的维数。

J.W.亚历山大在1915年证明了多面体的同调群的拓扑不变性,即如果两个多面体│K│,│L│同胚,那么这个同胚诱导它们的上同调群、同调群的同构。实际上,如果│K│,│L│伦型相同,其同伦等价也诱导它们的上同调群、同调群的同构。

利用同调群可以解决不少几何问题。例如,布劳威尔不动点定理(见不动点理论),可以找到尤拉示性数与贝蒂数之间的关系式:

其中αi为复形K的i维单形个数,b)i为多面体│K│的i维贝蒂数,

(K)即K的尤拉示性数。从而证明了尤拉示性数是│K│的拓扑不变数。

单纯复形的整系数同调群是个有限生成的交换群。因此,它同构于

,其中Z代表整数加群,θ(1,n),…,θ(τn,n)为一串自然数,每个可整除后一个,叽表示直和。前面Z的个数即为n维贝蒂数;后面这串有限群的阶数θ(1,n),…,θ(τn,n)称为 n维挠系数。确定一个单纯复形(及其多面体)的各维贝蒂数与挠系数,也就算出了同调群。

简单的单纯复形的同调群的计算,可以通过叫做“挤到边上去”的方法直观地解决。一般单纯复形同调群的计算,可以用矩阵变换的方法经有限多次的算术运算解决,不过具体实现这种计算是非常困难的。

带系数群G的同调群的构造,可由整系数同调群与G按照“泛系数”公式来求。上同调群的计算也有其相应的公式。

同调论的公理

S.艾伦伯格和N.E.斯廷罗德提出了同调群、上同调群满足的公理,并证明了在多面体的情形下满足公理的同调群、上同调群是惟一的。

在一般的拓扑空间上引进同调群主要有两种方式。利用有序单形对映到拓扑空间,来定义这个拓扑空间的同调群,称为这个拓扑空间的奇异同调群;利用单纯复形来逼近一个拓扑空间,用极限来定义这个拓扑空间的同调群,称为这个拓扑空间的切赫同调群。在紧多面体的情况,这两种同调群都同构于按单纯剖分得到的同调群。

在以某种环为系数的上同调群中可以引入乘法使之成为上同调环。为了更好地利用上同调群,在其上引入了所谓上同调运算的额外结构,例如斯廷罗德幂,庞特里亚金幂等等。由斯廷罗德幂发展成为斯廷罗德代数的研究,大大丰富了同调论的内容。

参考书目

江泽涵著:《拓扑学引论》,上海科学技术出版社,上海,1978。

R.M. Switzer,Algebraic Topology-Homotopy and Homology, Springer-Verlag, New York, 1975.

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